O grafite famoso de William Rowan Hamilton na Broome Bridge: quatérnios e vetores

Em 16 de outubro de 1843, o matemático irlandês William Rowan Hamilton teve uma epifania enquanto caminhava ao lado do Royal Canal, em Dublin. A empolgação foi tanta que ele sacou o canivete e gravou ali mesmo, na Broome Bridge, a descoberta que acabara de ter.

Virou o grafite mais célebre da história da matemática - embora, à primeira vista, pareça discreto:

i² = j² = k² = -1

Mesmo assim, a revelação de Hamilton transformou a forma como matemáticos representam informação. E isso, por consequência, simplificou inúmeras aplicações técnicas - de calcular forças ao projetar uma ponte, uma máquina de ressonância magnética ou uma turbina eólica, até programar mecanismos de busca e orientar um veículo explorador em Marte.

Então, afinal, o que esse grafite famoso quer dizer?

Rotação de objetos

O problema matemático que Hamilton tentava resolver era como representar a relação entre direções diferentes no espaço tridimensional. Direção é essencial para descrever forças e velocidades, mas Hamilton também tinha um interesse especial em rotações em 3D.

Os matemáticos já sabiam indicar a posição de um objeto com coordenadas como x, y e z. O difícil era entender como essas coordenadas mudavam quando o objeto era girado - algo que costumava exigir uma geometria esférica trabalhosa. Hamilton buscava um caminho mais direto.

A inspiração veio de um método notável para descrever rotações em duas dimensões.

O truque consistia em usar os chamados "números complexos", que possuem uma parte "real" e uma parte "imaginária". A parte imaginária é um múltiplo do número i, "a raiz quadrada de menos um", definido pela equação i² = –1.

No começo do século XIX, vários matemáticos - entre eles Jean Argand e John Warren - perceberam que um número complexo pode ser representado como um ponto em um plano. Warren também mostrou que era matematicamente bem simples girar um segmento em 90° nesse novo plano complexo, como ao fazer o ponteiro de um relógio voltar de 12h15 para 12h00. Isso é exatamente o que ocorre quando se multiplica um número por i.

Hamilton ficou profundamente impressionado com essa ligação entre números complexos e geometria e passou a tentar reproduzir o mesmo efeito em três dimensões. Ele imaginou um plano complexo em 3D, acrescentando um segundo eixo imaginário na direção de um segundo número imaginário, j, perpendicular aos outros dois eixos.

Depois de muitos meses de trabalho árduo, ele chegou à conclusão de que, para estender a "magia" rotacional da multiplicação por i para além de 2D, seriam necessários números complexos de quatro dimensões, com um terceiro número imaginário: k.

Nesse espaço matemático 4D, o eixo de k seria perpendicular aos outros três. E k não seria apenas definido por k² = –1: sua definição também precisaria satisfazer k = ij = –ji. (Ao combinar essas duas expressões para k, obtém-se ijk = –1.)

Juntando tudo, chega-se a i² = j² = k² = ijk = –1 - o insight que atingiu Hamilton como um raio na Broome Bridge.

Quatérnios e vetores

Hamilton deu aos seus números 4D o nome de "quatérnios" e passou a usá-los para calcular rotações geométricas no espaço 3D. É o tipo de rotação que hoje se aplica, por exemplo, para mover um robô ou orientar um satélite.

Só que grande parte da utilidade prática aparece quando se considera apenas a parte imaginária de um quatérnio. Foi a isso que Hamilton chamou de "vetor".

Um vetor reúne, ao mesmo tempo, dois tipos de informação - mais conhecidos como módulo e direção - de uma grandeza espacial, como força, velocidade ou posição relativa. Para representar a posição (x, y, z) de um objeto em relação à "origem" (o ponto zero dos eixos de posição), Hamilton imaginava uma seta indo da origem até o local do objeto. Essa seta corresponde ao "vetor posição" x i + y j + z k.

Os "componentes" desse vetor são os números x, y e z - isto é, o quanto a seta se estende ao longo de cada um dos três eixos. (Outros vetores têm componentes diferentes, de acordo com seus módulos e unidades.)

Meio século depois, o telegrafista inglês excêntrico Oliver Heaviside ajudou a inaugurar a análise vetorial moderna ao trocar a estrutura imaginária de Hamilton, i, j, k, por vetores unitários reais, i, j, k. Ainda assim, os componentes do vetor permanecem os mesmos - e, com isso, a seta (e as regras básicas de multiplicação de vetores) também continuam valendo.

Hamilton definiu duas formas de multiplicar vetores entre si. Uma delas resulta em um número (hoje chamada de produto escalar, ou produto interno), e a outra resulta em um vetor (conhecida como produto vetorial, ou produto externo). Essas multiplicações aparecem atualmente em uma enorme variedade de usos - inclusive na fórmula da força eletromagnética que está na base de todos os nossos dispositivos eletrônicos.

Um único objeto matemático

Sem que Hamilton soubesse, o matemático francês Olinde Rodrigues havia chegado a uma versão desses produtos apenas três anos antes, em seu próprio trabalho sobre rotações. Mas chamar as multiplicações de Rodrigues de produtos de vetores é uma leitura posterior. Foi Hamilton quem uniu componentes separados em uma única quantidade: o vetor.

Todos os demais - de Isaac Newton a Rodrigues - não tinham a noção de um objeto matemático único que unificasse os componentes de uma posição ou de uma força. (Na verdade, houve uma pessoa com uma ideia parecida: um matemático alemão autodidata chamado Hermann Grassmann, que inventou de forma independente, ao mesmo tempo que Hamilton, um sistema vetorial menos transparente.)

Hamilton também criou uma notação compacta para deixar suas equações mais concisas e elegantes. Ele usava uma letra grega para representar um quatérnio ou um vetor; hoje, seguindo Heaviside, é comum empregar uma letra latina em negrito.

Essa forma compacta de escrever mudou o modo como matemáticos representam grandezas físicas em 3D.

Considere, por exemplo, uma das equações de Maxwell que relaciona os campos elétrico e magnético:

∇ × E = –∂B/∂t

Com apenas alguns símbolos (não vamos entrar nos significados físicos de ∂/∂t e de ∇ ×), a equação mostra como um vetor de campo elétrico (E) se propaga no espaço em resposta a mudanças em um vetor de campo magnético (B).

Sem notação vetorial, o mesmo conteúdo teria de ser escrito como três equações separadas (uma para cada componente de B e de E) - cada uma delas um emaranhado de coordenadas, multiplicações e subtrações.

O poder da perseverança

Escolhi uma das equações de Maxwell porque o escocês peculiar James Clerk Maxwell foi o primeiro grande físico a reconhecer a força desse simbolismo vetorial compacto. Infelizmente, Hamilton não viveu para ver o apoio de Maxwell. Ainda assim, ele nunca abandonou a convicção de que havia encontrado uma nova maneira de representar grandezas físicas.

A perseverança de Hamilton diante da rejeição predominante realmente me comoveu quando eu pesquisava meu livro sobre vetores. Ele esperava que um dia - "não importa quando" - alguém agradecesse por sua descoberta, mas isso não era vaidade. Era entusiasmo com as aplicações possíveis que ele conseguia imaginar.

Ele ficaria radiante ao ver que os vetores são tão usados hoje e que conseguem representar informação digital, além da informação física. Porém, ele se sentiria especialmente satisfeito em saber que, ao programar rotações, os quatérnios ainda costumam ser a melhor opção - como bem sabem a NASA e programadores de computação gráfica.

Em reconhecimento às realizações de Hamilton, entusiastas da matemática refazem sua caminhada famosa a cada 16 de outubro para celebrar o Hamilton Day. Mas todos nós usamos, diariamente, os frutos tecnológicos daquele grafite aparentemente modesto.

Robyn Arianrhod, afiliada, Escola de Matemática, Universidade Monash

Este artigo foi republicado de The Conversation sob uma licença Creative Commons. Leia o artigo original.