Imagine um número formado por uma sequência imensa de algarismos 1: 1111111…111. Mais precisamente, 136,279,841 uns enfileirados. Se empilhássemos a mesma quantidade de folhas de papel, a torre resultante alcançaria a estratosfera.
Se esse número fosse registado num computador em formato binário (usando apenas 1 e 0), ocuparia só cerca de 16 megabytes - algo do tamanho de um pequeno clipe de vídeo.
Ao convertê-lo para a escrita decimal, mais familiar, esse número - que começa por 8,816,943,275… e termina em …076,706,219,486,871,551 - teria mais de 41 milhões de dígitos. Num livro, isso daria para preencher 20,000 páginas.
Há ainda uma forma alternativa de o representar: 2^136,279,841 – 1. E ele tem algumas particularidades.
Em primeiro lugar, trata-se de um número primo (ou seja, só é divisível por 1 e por ele mesmo). Em segundo, ele é um chamado primo de Mersenne (já explico o que isso significa). E, em terceiro, é até agora o maior número primo alguma vez encontrado - resultado de uma busca matemática cuja história se estende por mais de 2,000 anos.
A descoberta
A confirmação de que esse número (abreviado como M136279841) é primo ocorreu em 12 de outubro, pelas mãos de Luke Durant, um investigador de 36 anos de San Jose, Califórnia. Durant é um entre milhares de participantes de um esforço voluntário, de longa duração, dedicado a caçar primos: a Grande Busca na Internet por Primos de Mersenne, ou GIMPS.
Um primo que é exactamente 1 a menos do que alguma potência de dois (o que os matemáticos escrevem como 2^p – 1) recebe o nome de primo de Mersenne, em referência ao monge francês Marin Mersenne, que os estudou há mais de 350 anos. Entre os primeiros primos de Mersenne estão 3, 7, 31 e 127.
Durant chegou ao resultado combinando algoritmos matemáticos, engenharia prática e um volume enorme de poder computacional. Enquanto primos gigantes já tinham sido identificados antes com processadores tradicionais (CPUs), esta descoberta é a primeira a recorrer a um tipo diferente de processador: a GPU.
As GPUs foram criadas originalmente para acelerar a renderização de gráficos e vídeo e, mais recentemente, passaram a ser usadas para minerar criptomoedas e também para viabilizar sistemas de IA.
Durant, que já trabalhou na NVIDIA, uma das principais fabricantes de GPUs, utilizou GPUs potentes na nuvem para montar uma espécie de "supercomputador na nuvem" distribuído por 17 países. A GPU premiada foi um processador NVIDIA A100 situado em Dublin, na Irlanda.
Primos e números perfeitos
Para lá da emoção da descoberta, este avanço dá continuidade a uma narrativa que atravessa milénios. Um dos motivos para o fascínio dos matemáticos pelos primos de Mersenne é a ligação deles com os chamados números "perfeitos".
Um número é perfeito quando a soma de todos os seus divisores próprios (os divisores positivos menores do que ele) é exactamente igual ao próprio número. Por exemplo, seis é perfeito porque 6 = 2 × 3 = 1 + 2 + 3. De modo semelhante, 28 = 4 × 7 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Para cada primo de Mersenne, existe também um número perfeito par. (Num dos problemas mais antigos e ainda em aberto da matemática, não se sabe se existem números perfeitos ímpares.)
Ao longo da história, números perfeitos despertaram a imaginação humana. Entre outros exemplos, os hebreus antigos e também Santo Agostinho viam o seis como um número verdadeiramente perfeito, já que Deus teria criado a Terra em exactamente seis dias (descansando no sétimo).
Primos na prática
Estudar números primos não é apenas uma curiosidade histórica. A teoria dos números também é fundamental para a criptografia moderna. Por exemplo, a segurança de muitos sites depende da dificuldade intrínseca de encontrar os factores primos de números grandes.
Em geral, os números utilizados na chamada "criptografia de chave pública" (do tipo que protege a maior parte da actividade online, por exemplo) têm apenas algumas centenas de dígitos em decimal - algo minúsculo quando comparado com M136279841.
Ainda assim, os ganhos da pesquisa básica em teoria dos números - investigar a distribuição dos primos, criar algoritmos para testar se números são primos e determinar factores de números compostos - frequentemente têm efeitos a jusante, ajudando a sustentar a privacidade e a segurança das nossas comunicações digitais.
Uma busca sem fim
Primos de Mersenne são realmente raros: o novo recorde tem mais de 16 milhões de dígitos a mais do que o anterior e é apenas o 52.º já descoberto.
Sabemos que há infinitos números primos. Quem demonstrou isso foi o matemático grego Euclides, há mais de 2,000 anos: se existisse apenas um conjunto finito de primos, seria possível multiplicá-los todos e somar um.
O resultado não seria divisível por nenhum dos primos já conhecidos, o que implica que sempre tem de existir pelo menos mais um.
No entanto, não sabemos se há infinitos primos de Mersenne - embora se conjecture que sim. Infelizmente, eles são escassos demais para que as nossas técnicas os detectem com facilidade.
Por enquanto, este novo primo funciona como um marco da curiosidade humana e como um lembrete de que, mesmo numa era dominada pela tecnologia, alguns segredos profundos e sedutores do universo matemático continuam fora de alcance. O desafio permanece, chamando matemáticos e entusiastas a procurar padrões escondidos na tapeçaria infinita dos números.
E assim, a busca (matemática) pela perfeição vai continuar.
John Voight, Professor de Matemática, Universidade de Sydney
Este artigo foi republicado de The Conversation sob uma licença Creative Commons. Leia o artigo original.
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